直交射影

直交射影とは、射影前のベクトルをvec[a]]、射影後のベクトルをvec[a]]'とした場合、vec[a]]'とvec[a]]'-vec[a]]が直交するように射影することです。

例えば、以下は、ベクトルvec[a]]をベクトルvec[b]]に直交射影した様子です。

直交射影後のベクトルvec[a]]'は、以下のように求めることができます。

\[\boldsymbol{a}'=\frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{b}}\boldsymbol{b}\]

導出方法

直交射影前のベクトルをvec[a]]、直交射影後のベクトルをvec[a]]'、直交射影先のベクトルをvec[b]]とした場合、vec[a]]'-vec[a]]とvec[b]]は直交するため、以下の内積を用いた式が成り立ちます。

(vec[a]]'-vec[a]])・vec[b]]=0

括弧を展開します。

vec[a]]'・vec[b]]-vec[a]]・vec[b]]=0

vec[a]]・vec[b]]を右辺に移項します。

vec[a]]'・vec[b]]=vec[a]]・vec[b]]

スカラー倍を用いて、vec[a]]'=cvec[b]]と表すことができるので、以下のように置き換えます。

cvec[b]]・vec[b]]=vec[a]]・vec[b]]

両辺をvec[b]]・vec[b]]で割ります。

\[c=\frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{b}}\]

このcをvec[a]]'=cvec[b]]に代入すると、以下になります。

\[\boldsymbol{a}'=\frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{b}}\boldsymbol{b}\]

導出できました。