内積とは、任意の二つのベクトルvec[a]]とvec[b]]において、vec[a]]・vec[b]]と表記される演算のことです。
内積は、以下の性質を満たす演算と定義されています。
性質1：vec[a]]・vec[b]]=vec[b]]・vec[a]]
性質2：vec[a]]・(vec[b]]+vec[c]])=vec[a]]・vec[b]]+vec[a]]・vec[c]]
性質3：c(vec[a]]・vec[b]])=(cvec[a]])・vec[b]]=vec[a]]・(cvec[b]])
性質4：vec[a]]・vec[a]]＞＝0
性質5：vec[a]]・vec[a]]=0のとき、vec[a]]はゼロベクトル
一般的に、n次元ベクトルvec[a]]=(a_[[1]], a_[[2]],…, a_[n]])とvec[b]]=(b_[[1]], b_[[2]],…, b_[n]])の内積の計算は、以下のように定義されます。
vec[a]]・vec[b]]=a_[1]]b_[1]]+a_[2]]b_[2]]+…+a_[n]]b_[n]]
この計算は、内積が満たすべき、5つの性質を満たします。
また、この内積の計算より、内積はスカラーであることが分かります。