内積(ドット積)

内積とは、例えば、ベクトルabがあった場合、abで表されるものです。2次元ベクトルa=(a_[[1]], a_[2]])b=(b_[[1]], b_[2]])の内積は、以下の式で求めることができます。求め方は2種類あります。

ab=|a||b|fcosθ

ab=a_[1]]b_[1]]+a_[2]]b_[2]]

2つのベクトルが垂直関係にある場合、内積は0となります。

内積の直感的なイメージを説明します。以下の赤い矢印の大きさは、|vec[a]]|fcosθで求まります。内積は、|vec[b]]|×|vec[a]]|fcosθで求まるため、内積は、赤い矢印の大きさとベクトルvec[b]]の大きさを掛けたものです。

このイメージから分かるように、2つのベクトルが垂直関係にある場合、赤い矢印の大きさは0となるため、内積も0となります。

3次元ベクトルの内積

3次元ベクトルa=(a_[[1]], a_[[2]], a_[3]])b=(b_[[1]], b_[[2]], b_[3]])の内積は、以下の式で求めることができます。

ab=|a||b|fcosθ

ab=a_[1]]b_[1]]+a_[2]]b_[2]]+a_[3]]b_[3]]

2次元ベクトルと同様、2つのベクトルが垂直関係にある場合、内積は0となります。

n次元ベクトルの内積

n次元ベクトルa=(a_[[1]], a_[[2]], …, a_[n]])b=(b_[[1]], b_[[2]], …, b_[n]])の内積は、以下の式で求めることができます。

ab=|a||b|fcosθ

ab=a_[1]]b_[1]]+a_[2]]b_[2]]+…+a_[n]]b_[n]]

4次元以上の空間では、垂直という概念が存在しないため、4次元以上の2つのベクトルの内積が0の場合には、2つのベクトルは直交していると言います。

なお、2次元、3次元でも垂直の代わりに直交という表現を使っても問題ありません。

ベクトル成分を使った内積の導出方法

ベクトルvec[a]]=(a_[[1]], a_[2]])vec[b]]=(b_[[1]], b_[2]])の内積であるab=a_[1]]b_[1]]+a_[2]]b_[2]]を導出する方法を説明します。

まず、ベクトルvec[a]]からvec[b]]を引いて、赤線のベクトルを作ります。vec[b]]-vec[a]]でも問題ありません。

余弦定理を使って、以下の関係式を作ります。

fcosθを左辺にして整理します。

内積の式vec[a]]・vec[b]]=|vec[a]]||vec[b]]|fcosθに上記のfcosθを代入します。

|vec[a]]||vec[b]]|を約分します。

ベクトルの大きさを成分で計算します。

括弧を展開します。

2を約分します。

=a_[1]]b_[1]]+a_[2]]b_[2]]

角度θを用いない2次元ベクトルの内積の式を導出できました。導出過程から分かるように3次元以上のベクトルの内積も同じ流れで導出できます。