三角形の面積の内積表現

ベクトル\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)が作る三角形の面積\(A\)は、内積を用いて、以下のように表せます。

\[A=\frac{1}{2}\sqrt{||\boldsymbol{a}||^2\,||\boldsymbol{b}||^2-(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})^2}\]

なお、\(\boldsymbol{a}=(a_1, a_2)\)、\(\boldsymbol{b}=(b_1, b_2)\)とした場合、面積\(A\)は、冒頭の式を使って、以下のように表せます。

\[A=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^2}\]

同様に、\(\boldsymbol{a}=(a_1, a_2, a_3)\)、\(\boldsymbol{b}=(b_1, b_2, b_3)\)とした場合、面積\(A\)は、冒頭の式を使って、以下のように表せます。

\[A=\frac{1}{2}\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^2+(a_2 b_3-a_3 b_2)^2+(a_3 b_1-a_1 b_3)^2}\]

導出方法

以下のように、ベクトル\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)が作る三角形を用意します。

底辺の長さは、\(||\boldsymbol{b}||\)です。高さは、\(||\boldsymbol{a}||\sin(\theta)\)と表せます。よって、上記の三角形の面積\(A\)は、以下のように表せます。

\[A=\frac{1}{2}||\boldsymbol{a}||\,||\boldsymbol{b}||\sin(\theta)\]

三角関数の基本公式の一つである\(\sin(\theta )=\displaystyle\sqrt{1-(\cos(\theta ))^2}\)を上式に代入します。

\[=\frac{1}{2}||\boldsymbol{a}||\,||\boldsymbol{b}||\sqrt{1-(\cos(\theta ))^2}\]

内積の幾何学的な定義である\(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=||\boldsymbol{a}||\,||\boldsymbol{b}||\cos(\theta)\)を変形した\(\cos(\theta)=\displaystyle\frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{||\boldsymbol{a}||\,||\boldsymbol{b}||}\)を上式に代入します。

\[=\frac{1}{2}||\boldsymbol{a}||\,||\boldsymbol{b}||\sqrt{1-\left (\frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{||\boldsymbol{a}||\,||\boldsymbol{b}||}\right )^2}\]

以下のように変形します。

\[=\frac{1}{2}\sqrt{||\boldsymbol{a}||^2\,||\boldsymbol{b}||^2-(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})^2}\]

導出できました。