対角化における関係式\(D=P^{-1}AP\)を証明します。
まず、\(n\)次の正方行列\(A\)が\(n\)個の線形独立な固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n\)を持つと仮定した場合、それらの固有値を\(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\)とすると、以下の関係が成り立ちます。
\[\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{pmatrix}=P^{-1}AP\]
両辺に左から\(P\)を掛けます。
\[P\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{pmatrix}=AP\]
ここで、対角化の定義より、\(P=(\boldsymbol{v}_1\ \boldsymbol{v}_2\ \cdots \ \boldsymbol{v}_n)\)です。
\[(\boldsymbol{v}_1\ \boldsymbol{v}_2\ \cdots \ \boldsymbol{v}_n)\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{pmatrix}=A(\boldsymbol{v}_1\ \boldsymbol{v}_2\ \cdots \ \boldsymbol{v}_n)\]
両辺とも掛け算を行い、行列を展開します。
\[(\lambda_1 \boldsymbol{v}_1\ \lambda_2 \boldsymbol{v}_2\ \cdots \ \lambda_n \boldsymbol{v}_n)=(A\boldsymbol{v}_1\ A\boldsymbol{v}_2\ \cdots \ A\boldsymbol{v}_n)\]
このとき、任意の第\(i\)成分は、\(A\boldsymbol{v}_i=\lambda_i \boldsymbol{v}_i\)で表すことができます。よって、\(\boldsymbol{v}_i\)は、行列\(A\)の固有ベクトルであり、\(\lambda_i\)はその固有値です。
そして、行列\(P\)は、逆行列\(P^{-1}\)が存在するので、\(P\)の行列式の値は0以外です。よって、n個のn次元ベクトルが線形独立か調べる方法より、\(\boldsymbol{v}_i\)は互いに線形独立です。
なので、\(n\)次の正方行列\(A\)は、\(n\)個の線形独立な固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n\)を持つということになり、冒頭の仮定と一致します。
よって、\(D=P^{-1}AP\)を証明できました。