合成関数の偏微分は、連鎖律を用いて計算できます。
具体例は、以降で説明します。
\(f(x)\)、\(x=g(u, v)\)で表される合成関数があった場合、\(u\)に対する偏微分\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}\)は、連鎖律を用いて以下のように計算できます。
\[\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}\]
\(f(x, y)\)、\(x=g(u)\)、\(y=h(v)\)で表される合成関数があった場合、\(u\)に対する偏微分\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}\)は、連鎖律を用いて以下のように計算できます。
\[\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}\]
\(f(x, y)\)、\(x=g(u, v)\)、\(y=h(u, v)\)で表される合成関数があった場合、\(u\)に対する偏微分\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}\)は、連鎖律を用いて以下のように計算できます。
\[\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\]
\(f(x, y)\)、\(x=g(s, t)\)、\(y=h(s, t)\)、\(s=k(u, v)\)、\(t=m(u, v)\)で表される合成関数があった場合、\(u\)に対する偏微分\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}\)は、連鎖律を用いて以下のように計算できます。
\[\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial u}\]