関数を無限次元ベクトルで表現する直感的な方法を使って、cos波とsin波を無限次元ベクトルで表現した場合、角周波数が同じで位相差が90度のcos波とsin波の内積は、0です。
cos波とsin波がそれぞれfcos(ωt)とfsin(ωt)だったとします。1周期分をグラフにすると、以下です。
赤線と青線を掛けると、以下のように黒線のグラフになります。上記のcos波とsin波の無限次元ベクトルの1周期分の内積は、黒線のグラフの定積分となります。
よって、このcos波とsin波の無限次元ベクトルの1周期分の内積は、0になります。
何周期でもこの内積は0なので、このcos波とsin波の無限次元ベクトルの内積は0と言えます。
また、cos波とsin波のそれぞれの振幅に関係なく、角周波数が同じで位相差が90度であれば、この内積は0です。
cos波とsin波がそれぞれfcos(ωt)とfsin(ωt)だったとします。
これらの関数の1周期分を無限次元ベクトルで表現すると、無限次元ベクトルで表現された関数の内積より、それらの内積は、以下のように表せます。
\[\int_{0}^{2\pi }\cos(\omega t)\sin(\omega t)dt=0\]
よって、角周波数が同じで位相差が90度のcos波とsin波の内積は、0です。