運動エネルギーの変化量と外部から受けた仕事が一致することを証明します。
速さ\(v_0\)で移動している物体が一定時間、\(F\)の.力.を受けて、速さが\(v\)になったとします。また、\(F\)の.力.を受けている間の移動距離を\(x\)とします。
このとき、等加速度直線運動の式\(v^2=v_0^2+2ax\)が成り立ちます。
また、ニュートンの第二法則より、\(F=ma\)です。\(a=\displaystyle\frac{F}{m}\)と変形し、上記の式に代入します。
\[v^2=v_0^2+\frac{2Fx}{m}\]
両辺に\(\displaystyle\frac{m}{2}\)を掛けます。
\[\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mv_0^2+Fx\]
以下のように整理します。
\[\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2=Fx\]
左辺は運動エネルギーの変化量、右辺は外部からされた仕事になっています。
よって、運動エネルギーの変化量と外部から受けた仕事が一致することが証明できました。