積和の公式を証明します。
以下の積和の公式を証明します。
\[\sin(α)\cos(β) = \frac{1}{2}(\sin(α + β) + \sin(α - β))\]
まず、以下のsin関数の加法定理を用意します。
\[\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )\]
\[\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\cos(\alpha )\sin(\beta )\]
二つの式を足し合わせます。
\[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=2\sin(\alpha )\cos(\beta )\]
両辺を2で割ります。
\[\displaystyle \frac{1}{2}(\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ))=\sin(\alpha )\cos(\beta )\]
証明できました。
以下の積和の公式を証明します。
\[\cos(α)\sin(β) = \frac{1}{2}(\sin(α + β) - \sin(α - β))\]
まず、以下のsin関数の加法定理を用意します。
\[\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )\]
\[\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\cos(\alpha )\sin(\beta )\]
上の式から下の式を引きます。
\[\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )=2\cos(\alpha )\sin(\beta )\]
両辺を2で割ります。
\[\displaystyle \frac{1}{2}(\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ))=\cos(\alpha )\sin(\beta )\]
証明できました。
以下の積和の公式を証明します。
\[\cos(α)\cos(β) = \frac{1}{2}(\cos(α - β) + \cos(α + β))\]
まず、以下のcos関数の加法定理を用意します。
\[\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\]
\[\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )\]
二つの式を足し合わせます。
\[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )=2\cos(\alpha )\cos(\beta )\]
両辺を2で割ります。
\[\displaystyle \frac{1}{2}(\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ))=\cos(\alpha )\cos(\beta )\]
証明できました。
以下の積和の公式を証明します。
\[\sin(α)\sin(β) = \frac{1}{2}(\cos(α - β) - \cos(α + β))\]
まず、以下のcos関数の加法定理を用意します。
\[\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\]
\[\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )\]
下の式から上の式を引きます。
\[\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )=2\sin(\alpha )\sin(\beta )\]
両辺を2で割ります。
\[\displaystyle \frac{1}{2}(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ))=\sin(\alpha )\sin(\beta )\]
証明できました。