線積分

線積分とは、曲線上に位置に応じた値が定義されている場合に、その値と曲線上の微小距離を使って、曲線の区間で定積分することです。

平面上の曲線の線積分

例えば、xy平面上に以下のような曲線があったとします。

そして、この曲線上にfff(x, y)の値が定義されていたとします。

曲線上の微小距離をdlとした場合、がこの場合の線積分です。Cは曲線の積分区間です。

つまり、この線積分により、赤線で示した曲面の面積が求まります。

3次元の曲線の線積分

適当な3次元の曲線が位置ベクトルvec[r]]（t)で与えられていたとします。tは、曲線上の位置を決める変数です。

vec[r]]（t)での値が関数fff(vec[r]]（t))で与えられている場合、曲線C上の微小距離をdlとすれば、線積分は、以下になります。

3次元の線積分は、以下のようなイメージです。

黒線が線積分する3次元の曲線、赤線は個々のfff(vec[r]]（t)) dlです。赤線の面積をすべて足し合わせた結果がです。