球の体積の求め方

球の体積は、球の半径を\(r\)とした場合、\(\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)で求めることができます。

直感的な導出方法

球は、四角錐の集合で近似的に作ることができます。例えば、以下の青色の立体は、四角錐の一つです。

底面積が無限小の四角錐を使って、球を作れば、完全な球を作ることができます。

このとき、四角錐の底面積を\(\Delta S\)、高さを\(r\)とすれば、四角錐の体積は、\(\displaystyle\frac{1}{3} \Delta Sr\)となります。この四角錐を使って、球を作れば、球の体積は、以下になります。

\[球の体積=\frac{1}{3}\Delta Sr+\frac{1}{3}\Delta Sr + \cdots\]

以下のように整理します。

\[=\frac{1}{3}(\Delta S + \Delta S + \cdots)r\]

ここで、\(\Delta S + \Delta S + \cdots\)は、球の表面積なので、\(4\pi r^2\)となります。

\[=\frac{4}{3}\pi r^3\]

導出できました。