逐次積分

逐次積分とは、多変数関数に対して、それぞれの変数で順番に定積分を行うことです。

例えば、2変数関数\(f(x, y)\)に対して、\(y, x\)の順番で逐次積分する場合は、以下のように表記します。

\[\int_{a}^{b}\left ( \int_{c(x)}^{d(x)}f(x, y)dy \right )dx\]

ここで、\(c(x), d(x)\)は、入力変数が\(x\)の関数であり、\(y\)に対する定積分から見ると、定数です。\(c(x), d(x)\)は、\(x\)を含まない定数の場合もあります。

なお、この場合は、\(y\)に対する定積分を行う際は、\(x\)を定数とみなします。

同様に、3変数関数\(f(x, y, z)\)に対して、\(z, y, x\)の順番で逐次積分する場合は、以下のように表記します。

\[\int_{a}^{b} \left( \int_{c(x)}^{d(x)} \left( \int_{e(x, y)}^{f(x, y)} f(x, y, z) \, dz \right) dy \right) dx \]

この場合は、\(z\)に対する定積分を行う際は、\(x\)と\(y\)を定数とみなします。次に、\(y\)に対する定積分を行う際は、\(x\)を定数とみなします。