分散の加法性を証明します。
まず、確率変数の分散より、確率変数\(X\)の分散は、以下のように表せます。
\[\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\]
これを用いて、確率変数\(X+Y\)の分散は、以下のように表せます。
\[\mathrm{Var}(X+Y)=E[(X+Y)^2]-(E[X+Y])^2\]
これを展開して整理すると、以下になります。
\[=E[X^2+2XY+Y^2]-(E[X+Y])^2\]
\[=E[X^2]+2E[XY]+E[Y^2]-(E[X]+E[Y])^2\]
\[=E[X^2]+2E[XY]+E[Y^2]-(E[X])^2-2E[X]E[Y]-(E[Y])^2\]
独立な確率変数\(X\)と\(Y\)の共分散は0なので、確率変数の共分散より、以下が成り立ちます。
\[\mathrm{Cov}(X, Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0\]
よって、\(E[XY]=E[X]E[Y]\)が得られます。これを先ほどの式に代入すると、以下になります。
\[\mathrm{Var}(X+Y)=E[X^2]-(E[X])^2+E[Y^2]-(E[Y])^2\]
なので、以下と言えます。
\[\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\]
証明できました。