凸関数

ある関数\(f(x)\)の定義域の任意の2点間に直線を引いたとき、その直線より上に\(f(x)\)がないとき、この\(f(x)\)のことを凸関数（とつ関数）と言います。

例えば、以下のような関数は、凸関数です。

凸関数の数式による定義

任意の2点の\(x\)座標を\(x_1\)と\(x_2\)とした場合、\(0\leq t \leq 1\)の任意の\(t\)について、以下の不等式が成り立つとき、\(f(x)\)は、凸関数です。

\[f(t x_1 + (1-t) x_2) \leq t f(x_1) + (1-t) f(x_2)\]

例えば、以下のグラフであれば、左辺が黒色の点の\(y\)座標、右辺が青色の点の\(y\)座標です。

黒色の点は、常に青色の点よりも下にあります。これは、上記の関数であれば、どの2点を選んでも同じなので、凸関数と言えます。

別の定義

任意の\(x_1\)と\(x_2\)に対して、以下の不等式が成り立つとき、\(f(x)\)は、凸関数です。上記の定義において、\(t=\displaystyle\frac{1}{2}\)とした式です。

\[f\left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right )\leq \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\]

例えば、以下のグラフであれば、左辺が黒色の点の\(y\)座標、右辺が青色の点の\(y\)座標です。