テイラー展開とは、ある関数\(f(x)\)が\(x=b\)で無限回微分可能である場合に、その関数を\(b\)を中心に以下の形式の無限級数に近似することです。
\[f(x)=a_0+a_1 (x-b)+ a_2 (x-b)^2 + a_3 (x-b)^3+\cdots \]
ここで、\(a_n\)は、以下のように表されます。
\[a_n=\frac{f^{(n)}(b)}{n!}\]
テイラー展開により求めた無限級数のことをテイラー級数と呼びます。なお、\(b=0\)のとき、マクローリン級数となります。
例えば、以下のグラフとなる関数\(f(x)\)があったとします。
この\(f(x)\)に対して、\(a_0 \sim a_7\)までテイラー展開すると、テイラー級数は、以下の赤色のグラフになります。
\(b\)を中心に\(f(x)\)がテイラー級数で近似されていることが分かります。