掃き出し法（もしくは、ガウス・ジョルダンの消去法）とは、拡大行列に対して、行の基本変形を行い、拡大行列の左側の行列を簡約階段行列に変形する方法のことです。
例えば、以下の拡大行列があったとします。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 7 & 8 \ \\ 3 & 6 & 9 \ \\ 2 & 4 & 5 \ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \ 1 \\ \ 2 \\ \ 3 \\ \end{matrix} \end{pmatrix}\]
1行目を3倍したものを2行目から引きます。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 7 & 8 \ \\ 0 & -15 & -15 \ \\ 2 & 4 & 5 \ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \ 1 \\ \ -1 \\ \ 3 \\ \end{matrix} \end{pmatrix}\]
1行目を2倍したものを3行目から引きます。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 7 & 8 \ \\ 0 & -15 & -15 \ \\ 0 & -10 & -11 \ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \ 1 \\ \ -1 \\ \ 1 \\ \end{matrix} \end{pmatrix}\]
2行目に\(-\displaystyle\frac{1}{15}\)を掛けます。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 7 & 8 \ \\ 0 & 1 & 1 \ \\ 0 & -10 & -11 \ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \ 1 \\ \ \displaystyle\frac{1}{15} \\ \ 1 \\ \end{matrix} \end{pmatrix}\]
2行目を10倍したものを3行目に加えます。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 7 & 8 \ \\ 0 & 1 & 1 \ \\ 0 & 0 & -1 \ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \ 1 \\ \ \displaystyle\frac{1}{15} \\ \ \displaystyle\frac{5}{3} \\ \end{matrix} \end{pmatrix}\]
3行目を\(-1\)倍します。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 7 & 8 \ \\ 0 & 1 & 1 \ \\ 0 & 0 & 1 \ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \ 1 \\ \ \displaystyle\frac{1}{15} \\ \ -\displaystyle\frac{5}{3} \\ \end{matrix} \end{pmatrix}\]
2行目から3行目を引きます。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 7 & 8 \ \\ 0 & 1 & 0 \ \\ 0 & 0 & 1 \ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \ 1 \\ \ \displaystyle\frac{26}{15} \\ \ -\displaystyle\frac{5}{3} \\ \end{matrix} \end{pmatrix}\]
3行目を8倍したものを1行目から引きます。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 7 & 0 \ \\ 0 & 1 & 0 \ \\ 0 & 0 & 1 \ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \ \displaystyle\frac{43}{3} \\ \ \displaystyle\frac{26}{15} \\ \ -\displaystyle\frac{5}{3} \\ \end{matrix} \end{pmatrix}\]
2行目を7倍したものを1行目から引きます。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \ \\ 0 & 1 & 0 \ \\ 0 & 0 & 1 \ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \ \displaystyle\frac{11}{5} \\ \ \displaystyle\frac{26}{15} \\ \ -\displaystyle\frac{5}{3} \\ \end{matrix} \end{pmatrix}\]
拡大行列の左側の行列を簡約階段行列に変形できました。