デジタルハイパスフィルタ（デジタルHPF）とは、離散時間システムにおいて、入力信号を\(x[n]\)、出力信号を\(y[n]\)、\(0\leq A < 1\)とした場合、以下の式で表されるデジタルフィルタのことです。
\[y[n]=x[n]-((1-A)x[n]+A(x[n-1]-y[n-1]))\]
デジタルハイパスフィルタは、低い周波数成分を減衰させ、高い周波数成分を通過させます。
また、デジタルハイパスフィルタは、入力信号\(x[n]\)のZ変換を\(X(z)\)、出力信号\(y[n]\)のZ変換を\(Y(z)\)、\(x[n-1]\)のZ変換を\(X(z)z^{-1}\)、\(y[n-1]\)のZ変換を\(Y(z)z^{-1}\)とした場合、Z変換の線形性よりZ領域で以下のように表せます。
\[Y(z)=X(z)-((1-A)X(z)+A(X(z)-Y(z))z^{-1})\]
図にすると、以下です。
なお、デジタルハイパスフィルタは、デジタルローパスフィルタを用いて、Z領域で以下のように図式化できます。
デジタルハイパスフィルタの伝達関数*\(H(z)\)は、以下のように表せます。
\[H(z)=\frac{A(1-z^{-1})}{1-Az^{-1}}\]
デジタルハイパスフィルタの周波数応答は、伝達関数*\(H(z)\)の\(z\)に\(e^{i2\pi\hat{f}}\)を代入した以下です。
\[H(e^{i2\pi\hat{f}})=\frac{A(1-e^{-i2\pi\hat{f}})}{1-Ae^{-i2\pi\hat{f}}}\]
デジタルハイパスフィルタの振幅の周波数応答は、\(H(e^{i2\pi\hat{f}})\)の絶対値です。
離散時間信号のサンプリング周波数が48kHz、\(A=0.94\)の場合、デジタルハイパスフィルタの振幅の周波数応答は、以下になります。
ここで、横軸は周波数の対数スケール、縦軸は振幅倍率を電圧比のデシベルで表したものです。
デジタルハイパスフィルタの位相の周波数応答は、\(H(e^{i2\pi\hat{f}})\)の偏角です。
離散時間信号のサンプリング周波数が48kHz、\(A=0.94\)の場合、デジタルハイパスフィルタの位相の周波数応答は、以下になります。