離散フーリエ逆変換（Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT）とは、離散フーリエ変換に対応したフーリエ逆変換のことです。
離散時間信号\(x[n]\)の\(n\)の範囲を\(0\sim N-1\)、\(x[n]\)に対する離散フーリエ変換を\(X[k]\)とした場合、離散フーリエ逆変換は、以下のように表せます。
\[x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i2\pi\frac{k}{N}n}\]
このとき、離散フーリエ変換は、以下です。
\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i2\pi\frac{k}{N}n}\]
まず、離散フーリエ逆変換の式に離散フーリエ変換の式を代入すると以下になります。
\[x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \left ( \sum_{m=0}^{N-1} x[m] e^{-i2\pi\frac{k}{N}m} \right ) e^{i2\pi\frac{k}{N}n}\]
指数法則を利用して、以下のように変形します。
\[x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \left ( \sum_{m=0}^{N-1} x[m] e^{i2\pi\frac{k}{N}(n-m)} \right )\]
以下のように変形します。
\[x[n] = \frac{1}{N} \sum_{m=0}^{N-1} \left (x[m]\sum_{k=0}^{N-1} e^{i2\pi\frac{k}{N}(n-m)} \right )\]
\(m\neq n\)のとき、\(\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} e^{i2\pi\frac{k}{N}(n-m)}=0\)、\(m=n\)のとき、\(\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} e^{i2\pi\frac{k}{N}(n-m)}=1\)です。よって、以下になります。
\[x[n] = \frac{1}{N} x[n]\sum_{k=0}^{N-1}1\]
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}1=N\)なので、右辺は、\(x[n]\)です。証明できました。