実数の関数のフーリエ変換における複素スペクトルの対称性

実数の関数のフーリエ変換による複素スペクトルの実部は、以下のように偶関数になります。

実数の関数のフーリエ変換による複素スペクトルの虚部は、以下のように奇関数になります。

つまり、実数の関数のフーリエ変換による複素スペクトルを\(G(f)\)とした場合、\(G(-f)\)は、\(G(f)\)の共役複素数です。

\[\overline{G(f)}=G(-f)\]

なお、複素数の関数のフーリエ変換の場合は、上記の対称性は現れません。

証明

まず、フーリエ変換の式を準備します。

\[G(f)=\int_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-i2\pi ft}dt\]

\(g(t)\)が実数の関数であれば、\(G(f)\)の共役複素数\(\overline{G(f)}\)は、以下になります。

\[\overline{G(f)}=\int_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{i2\pi ft}dt\]

右辺は、\(G(-f)\)です。

よって、証明できました。