掃き出し法による連立1次方程式の解き方を説明します。
まず、連立1次方程式を拡大係数行列で表現します。
掃き出し法を用いて、拡大係数行列の左側の行列が簡約階段行列になるように、拡大係数行列を変形します。
このとき、できた簡約階段行列が単位行列であれば、拡大係数行列の右側の行列が連立1次方程式の解になります。
もし、簡約階段行列が単位行列でない場合は、連立1次方程式は解を持たないか、無限に多くの解を持つことになります。
例えば、以下の連立1次方程式があったとします。
\[\left\{\begin{matrix} \ x+7y+8z=1 \\ \ 3x+6y+9z=2 \\ \ 2x+4y+5z=3 \end{matrix}\right.\]
上記を拡大係数行列で表現すると、以下になります。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 7 & 8 \ \\ 3 & 6 & 9 \ \\ 2 & 4 & 5 \ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \ 1 \\ \ 2 \\ \ 3 \\ \end{matrix} \end{pmatrix}\]
掃き出し法を用いて、拡大係数行列の左側の行列が簡約階段行列になるように、拡大係数行列を変形します。
\[\begin{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \ \\ 0 & 1 & 0 \ \\ 0 & 0 & 1 \ \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} \ \displaystyle\frac{11}{5} \\ \ \displaystyle\frac{26}{15} \\ \ -\displaystyle\frac{5}{3} \\ \end{matrix} \end{pmatrix}\]
上記の拡大係数行列を連立1次方程式の表現に戻します。
\[\left\{\begin{matrix} \ x=\displaystyle\frac{11}{5} \\ \ y=\displaystyle\frac{26}{15} \\ \ z=-\displaystyle\frac{5}{3} \end{matrix}\right.\]
連立1次方程式を解けました。この場合は、簡約階段行列が単位行列なので、連立1次方程式は一意の解を持ちます。