直交行列

直交行列とは、その転置行列が逆行列に等しい実数の正方行列のことです。

つまり、正方行列\(A\)が直交行列である場合、以下の条件を満たします。

\[A^T A=AA^T=I\]

ここで、\(A^T\)は\(A\)の転置行列、\(I\)は単位行列を表しています。

直交行列の性質

直交行列の列ベクトルは、正規直交基底を形成しています。

つまり、直交行列を\(\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{pmatrix}\)とした場合、ベクトル\((a_1, a_2, a_3)\)とベクトル\((b_1, b_2, b_3)\)とベクトル\((c_1, c_2, c_3)\)は、互いに直交しており、ベクトルの大きさは1です。