外積とは、二つの3次元ベクトル\(\boldsymbol{a}=(a_1, a_2, a_3)\)と\(\boldsymbol{b}=(b_1, b_2, b_3)\)に対して、以下の計算で定義される\(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}\)のことです。
\[\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}=(a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)\]
外積は、3次元ベクトルです。
外積\(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}\)は、\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)と垂直関係にあるベクトルであり、その大きさ\(||\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}||\)は、\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)が作る平行四辺形の面積になります。
なお、\(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}\)の向きは、上図の方向になります。右手を使って、親指を\(\boldsymbol{a}\)、人差し指を\(\boldsymbol{b}\)に向けた際に、中指を曲げた方向です。
\(\boldsymbol{b}\times \boldsymbol{a}\)の場合は、上図とは、逆の方向になります。右手を使って、親指を\(\boldsymbol{b}\)、人差し指を\(\boldsymbol{a}\)に向けた際に、中指を曲げた方向です。
なお、同じベクトル同士の外積は、平行四辺形の面積が0になるため、ゼロベクトルになります。
外積の大きさ\(||\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}||\)は、\(\boldsymbol{a}\)と\(\boldsymbol{b}\)が作る平行四辺形の面積なので、以下の式が成り立ちます。
\[||\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}||=||\boldsymbol{a}||||\boldsymbol{b}||\sin (\theta)\]
\(||\boldsymbol{a}||\)が平行四辺形の底辺の長さで、\(||\boldsymbol{b}||\sin(\theta)\)が平行四辺形の高さ（点線）です。
また、外積の成分を使って、外積の大きさ（ベクトルの大きさ）を求めることもできます。