不定積分の線形性

不定積分には、線形性があります。

よって、afff(x)+bg（x)の不定積分は、\(a\int f(x)dx+b\int g(x)dx\)で行えます。

不定積分の線形性を式にすると以下です。

\[\int \left ( af(x)+bg(x) \right )dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx\]

不定積分の線形性の証明

微分の線形性より、以下が成り立ちます。

(aF（x)+bG（x))'=aF'(x)+bG'(x)

両辺を不定積分します。

\[aF(x)+bG(x)=\int \left ( aF'(x)+bG'(x) \right )dx\]

左辺を以下のように変形します。

\[a\int F'(x)dx+b\int G'(x)dx=\int \left ( aF'(x)+bG'(x) \right )dx\]

F'(x)=fff(x)、G'(x)=g（x)と置き換えます。

\[a\int f(x)dx+b\int g(x)dx=\int \left ( af(x)+bg(x) \right )dx\]

両辺を入れ替えます。

\[\int \left ( af(x)+bg(x) \right )dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx\]

不定積分の線形性を証明できました。