マクローリン展開

マクローリン展開とは、ある関数\(f(x)\)が原点で無限回微分可能である場合に、その関数を原点を中心に以下の形式の無限級数に近似することです。

\[f(x)=a_0+a_1 x+ a_2 x^2 + a_3 x^3+\cdots \]

ここで、\(a_n\)は、以下のように表されます。

\[a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\]

マクローリン展開により求めた無限級数のことをマクローリン級数と呼びます。

例えば、以下のグラフとなる関数\(f(x)\)があったとします。

この\(f(x)\)に対して、\(a_0 \sim a_7\)までマクローリン展開すると、マクローリン級数は、以下の赤色のグラフになります。

原点を中心に\(f(x)\)がマクローリン級数で近似されていることが分かります。

マクローリン展開の直感的な理解

マクローリン展開したいfff(x)のfff(0)を求めると、マクローリン級数のa_[0]]以外は0になるため、a_[0]]を求めることができます。

fff(0)=a_[0]]+a_[1]]0+a_[2]]0^[2]]+…=a_[0]]

fff(x)を微分すると、f'(x)=a_[1]]+2a_[[2]]x+3a_[[3]]x^[2]]+…となり、f'(0)を求めると、マクローリン級数のa_[1]]以外は0になるため、a_[1]]を求めることができます。

f'(0)=a_[1]]+2a_[2]]0+3a_[3]]0^[2]]+…=a_[1]]

fff(x)を2階微分すると、f''(x)=2a_[2]]+6a_[[3]]x+12a_[[4]]x^[2]]+…となり、f''(0)を求めると、2a_[2]]以外は0になるため、f''(0)=2a_[2]]となり、a_[2]]を求めることができます。

fff(x)を3階微分すると、f'''(x)=6a_[3]]+24a_[[4]]x+60a_[[5]]x^[2]]+…となり、f'''(0)を求めると、6a_[3]]以外は0になるため、f'''(0)=6a_[3]]となり、a_[3]]を求めることができます。

a_[0]]~a_[3]]の求め方から分かるように、a_[n]]の求め方は、以下のように一般化できます。