フーリエ変換とは、波を表す任意の関数を複素スペクトルの関数に変換することです。
波の関数を\(g(t)\)、\(g(t)\)の複素スペクトルを\(G(f)\)とした場合、フーリエ変換は、以下のように表せます。
\[G(f)=\int_{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-i2\pi ft}dt\]
\(G(f)\)は、\(g(t)\)の複素スペクトルなので、\(g(t)\)に含まれる周波数\(f\)の「複素数で表現された周波数成分」です。2次元ベクトルの複素数表現より、「2次元ベクトルで表現された周波数成分」とも言えます。
よって、\(G(f)\)の絶対値は、振幅スペクトル、\(G(f)\)の偏角は、位相スペクトルを意味します。
フーリエ変換は、一般的には、非周期的な波の関数に適用します。
冒頭のフーリエ変換の式は、オイラーの公式を使って、以下のように表せます。
\[G(f)=\int_{-\infty }^{\infty }g(t)(\cos(2\pi ft)-i\sin(2\pi ft))dt\]
以下のように変形します。
\[=\int_{-\infty }^{\infty }g(t)\cos(2\pi ft)dt-i\int_{-\infty }^{\infty }g(t)\sin(2\pi ft)dt\]
フーリエ級数の直交性より、実部は、\(g(t)\)に含まれる\(\cos(2\pi ft)\)の成分\(a_f\)、虚部は、\(g(t)\)に含まれる\(\sin(2\pi ft)\)の成分\(b_f\)となります。
\[=a_f-ib_f\]
複素数で表現された単純な波と同じ形式になりました。
よって、フーリエ変換\(G(f)\)は、\(g(t)\)に含まれる周波数\(f\)の「複素数で表現された周波数成分」と言えます。
言い換えると、\(G(f)\)は、\(g(t)\)の複素スペクトルです。
フーリエ変換\(G(f)\)の周波数\(f\)は、実数であり、マイナスの値もとることができます。
これは、フーリエ変換の導出過程において、半分の周波数成分をマイナス側に移動するためです。
フーリエ変換\(G(f)\)は、\(f=0\)のとき、複素数で表現された直流成分（2次元ベクトルで表現された直流成分）となります。
フーリエ変換は、フーリエ級数とフーリエ級数展開の周期\(T\)を無限大にすることにより導出することができます。
フーリエ級数とフーリエ級数展開は、周期\(T\)の周期的な波に対して適用できますが、この周期を無限大にすることで波全体をフーリエ級数で表せます。
このときのフーリエ級数を変形して、フーリエ変換を導出します。
詳細は、「フーリエ変換とフーリエ逆変換の導出方法」を参照してください。