ラプラス変換は、フーリエ変換で表現できます。
\(g(t)\)を時間領域の関数、\(u(t)\)を単位ステップ関数、\(\sigma\)を実数とした場合、以下のフーリエ変換は、ラプラス変換と等価です。
\[G(f)=\int_{-\infty}^{\infty }g(t)u(t)e^{-\sigma t}e^{-i2\pi ft}dt\]
この式からラプラス変換を導出する方法を説明します。
まず、積分区間を0からにすることにより、単位ステップ関数を省略できます。
\[=\int_{0}^{\infty }g(t)e^{-\sigma t}e^{-i2\pi ft}dt\]
指数法則を使って、以下のように変形します。
\[=\int_{0}^{\infty }g(t)e^{-(\sigma+i2\pi f)t}dt\]
\(s=\sigma+i2\pi f\)と置きます。
\[=\int_{0}^{\infty }g(t)e^{-st}dt=F(s)\]
フーリエ変換からラプラス変換を導出できました。