平方根とは、2乗する前の数のことです。例えば、\(a^2=4\)という関係を満たすとき、\(a\)のことを4の平方根と言います。つまり、4の平方根は、2と-2になります。
3の平方根は、\(a^2=3\)を満たす\(a\)であり、整数ではありません。このような場合、3の平方根は、ルートという記号を使って、\(\sqrt{3}\)と\(-\sqrt{3}\)と表記します。まとめて\(\pm\sqrt{3}\)としても良いです。
また、4の平方根は\(\pm2\)ですが、\(\pm\sqrt{4}\)とすることもできます。
ルート内の掛け算は、以下のように複数のルートで分離することができます。
\[\sqrt{2\times 2}=\sqrt{2}\times \sqrt{2}\]
\(\sqrt{4}\)の4を素因数分解すると、\(\displaystyle\sqrt{2^2}\)になりますが、ルート内が正数の2乗になった場合、指数とルートを削除することができます。
\[\sqrt{2^2}=2\]
\(\sqrt{12}\)の12を素因数分解すると、\(\sqrt{2^2\times 3}\)になりますが、このとき、ルートを分離して、\(\sqrt{2^2}\times \sqrt{3}\)のようにすれば、\(\sqrt{2^2}=2\)なので、\(\sqrt{12}\)は\(2\times\sqrt{3}\)と書けます。一般的には、掛け算の記号を省略して、\(2\sqrt{3}\)と記述します。
なお、\(\displaystyle \sqrt{(-2)^{2}}\)は、最初に\(\displaystyle \sqrt{4}\)と計算されるため、\(\displaystyle \sqrt{(-2)^{2}}=2\)となります。
\(\sqrt{2}+\sqrt{2}\)は、\(2\sqrt{2}\)となります。\(a+a\)が\(2a\)になるのと同じです。
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)は、これ以上足せません。\(a+b\)がこれ以上足せないのと同じです。
\(6\sqrt{2}-4\sqrt{2}\)は、\(2\sqrt{2}\)となります。\(6a-4a\)が\(2a\)になるのと同じです。
\(4\sqrt{3}-\sqrt{12}\)は、このままだと引けませんが、\(\sqrt{12}\)を素因数分解を使って、\(2\sqrt{3}\)に変形すれば、\(4\sqrt{3}-2\sqrt{3}\)となり、引き算が可能になります。
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}\)は、2となります。
\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}\)は、\(\sqrt{2\times 3}=\sqrt{6}\)となります。
\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)は、\(\displaystyle\sqrt{\frac{2}{3}}\)となります。
\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}}\)は、\(\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}\)となります。\(\displaystyle\sqrt{\frac{1}{2}}\)は、\(\displaystyle\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)と記載することも可能です。