離散型確率変数の期待値

離散型確率変数\(X\)が取り得る値を\(x_1,x_2,\cdots ,x_n\)とし、\(x_i\)の確率質量関数を\(P(X=x_i)\)とした場合、離散型確率変数の期待値\(E(X)\)は、以下のように求められます。

\[E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_iP(X=x_i)\]

サイコロの期待値

離散型確率変数が取り得る値を{1, 2, 3, 4, 5, 6}としたサイコロ投げにおいて、各値が出る確率が\(\displaystyle\frac{1}{6}\)だった場合、サイコロの出る目の期待値\(E(X)\)は、以下のように求められます。

\[E(X)=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6}=3.5\]

期待値なので、この3.5というのは、このサイコロを無限回振ったときに出る目の平均となります。

例えば、サイコロを振る回数を\(n\)とした場合、以下のグラフは、このサイコロを250回振るまでの出る目の平均をプロットしたものです。3.5付近に収束していくのを確認できます。